השוליים צרים מידי

שרבוט של מילים ספורות בשולי ספר הסעיר את העולם למעלה משלוש מאות שנים. כל מי שניסה להוכיח או להפריך את המילים ההן, נחל אכזבה קשה. ואז הגיע ילד בן עשר שהחליט שהוא יצליח במקום שכולם כשלו. באופן מפתיע, הוא אכן צדק.

//תהילה שוחט

זהו סיפורם של שני ילדים שחיו בתקופות שונות לחלוטין, ומִסְפָּרִים היו לחם חוקם. הראשונה היא סופי ז’רמן, שנולדה בשנת ה’תקל”ז, והשני הוא סר אנדרו ויילס, שנולד בשנת ה’תשי”ד. המשותף לשניהם היה החיבור למתמטיקה כבר בשנות הילדות המוקדמות, ולאחר מכן, בשנות הבגרות. המשותף לשניהם היה העיסוק במשפט שהסעיר את עולם המתמטיקה.

המשפט היה: “גיליתי הוכחה נפלאה למשפט זה, אך שוליים אלו צרים מלהכילה”. למען האמת, מנקודת מבט מתמטית המשפט המסעיר באמת היה זה שקדם לו. וכדי להבין זאת נפליג לאחור, להיכרות עם פייר דה פרמה, אציל צרפתי ששימש משפטן במקצועו ומתמטיקאי בתחביבו. יש אנשים כאלו.

לפרמה היו לא מעט השפעות על התפתחות המתמטיקה כולה. ניתן לומר שהוא התייחס לתחביב שלו ברצינות כה רבה, עד שהפך לאחד המתמטיקאים המובילים בעולם, וזכה אף לכינוי “מלך החובבנים”. הוא לא נהג לפרט את הוכחותיו יתר על מידה, אלא שלח אותן כאתגרים אינטלקטואליים, ובמקביל טרח לעדכן את הקורא: ״אני הצלחתי, נראה אם גם אתה״. מסיבה זו, קל להבין כי התייחסו להערות השוליים שלו ברצינות, אם כי היו כאלה ששנאו את צורת העבודה הזו. גם אותם אפשר להבין.

אתגר והוכחה

המשפט המדובר נכתב בשולי ספר, שפרמה נהנה להגות בו בשעות הפנאי שלו. לאחר מותו, גילה זאת בנו, והחליט להוציא מהדורה חדשה של הספר לציבור ביחד עם ההערות המדוברות. הוא עשה זאת בעיקר מתוך חשש שללא כך, דמותו של אביו תצלול אל תהום הנשיה. והיתה לו סיבה לדאגה – פרמה עצמו לא טרח לפרסם את גילוייו כמעט. גם כאשר התכתב עם מתמטיקאים אחרים מרחבי העולם, לא נהג לשמור העתקים מהמכתבים ששלח להם, אלא רק את המכתבים שקיבל. ומשכך, הספר וההערות שבו היו בעיני הבן כאוצר בלום.

המשפט שהוזכר בתחילת הכתבה לא היה היחיד באותו ספר. הצטרפו כמויות לא מבוטלות של הערות, חלקן מרגיזות ממש. למשל, “אני יכול להוכיח זאת בקלות, אבל עליי ללכת להתקלח כעת”. או הערה אחרת, שנכתבה לגבי מה שקיבל את השם “המשפט הקטן של פרמה”, כתב: “הייתי שולח את ההוכחה, אלמלא הייתי חושש להאריך יתר על המידה”. וכך הלאה.

הספר במהדורה המחודשת הפך לחוויה מסעירה בקרב קהילת המתמטיקאים, ורבים ניסו להוכיח את ההערות השונות. ההוכחות לא היו פשוטות כל כך. אחת מהן גרמה למתמטיקאי דגול בשם אוילר להזיע כמעט ארבעים שנים עד שהגיע להוכחה המלאה שלו. אבל ההערות באו על פתרונן בזו אחר זו, פרט למשפט אחד, הוא המשפט שבו פתחתי את הדברים. ובשל העובדה שהפך להיות המשפט האחרון שטרם הוכח, זכה המשפט לכינוי “המשפט האחרון של פרמה”.

ילדת פלא

לפני שנמשיך אל הפתרונות ואל הילדים, חשוב לציין כי הסבר קצר על משמעות המשפט ממתין לכן במסגרת. בחרתי להציב אותו שם, כדי שלא להתיש את מי שאינה מתחברת למספרים. אך יחד עם זאת יש לציין כי מדובר על פסקה קצרה בלבד, כך שכדאי לא לוותר עליו.

פרמה טען כי משפט פיתגורס: a²+b²=c², שדן ביחס בין אורכי צלעות במשולשים ישרי זווית, הוא משפט שנכון רק כאשר מדובר על חזקה שניה. אבל אם ננסה לפתור ביטוי שמדבר על חזקות גבוהות יותר – למשל: a^3+b^3=c^3 אזיי לא יהיה למשוואה שום פתרון.

זו היתה הצהרה מדהימה בעיני מתמטיקאים, משום שלמשפט פיתגורס עצמו יש אינסוף פתרונות. כלומר, כל מספר שנציב בו במקום האותיות האנגליות, יביא לפיתרון. מדוע אם כך, משפט שנראה דומה לו כל כך לא יביא לפתרון?

עם השנים הצליחו מתמטיקאים להוכיח מקרים פרטיים של המשפט. למשל, להוכיח כי חזקה שלישית אכן לא מתקיימת. אבל איש לא הצליח להוכיח את המשפט באופן שיהיה נכון לכל המספרים באשר הם.

המשפט האחרון של פרמה

בחזרה אל הסיפור: מתמטיקאים רבים ניסו להוכיח את המשפט האחרון של פרמה, ונחלו כישלון. בשלב מסוים היה מי שניסה לעגן בקרב הציבור את העמדה כי אכן יש פתרון, אבל המשפט לא מעניין מספיק בשביל להשקיע בו כמות משאבים אדירה כל כך. זה עבד חלקית, כי פתרון לא הגיע, אבל המשפט מאן לצלול לתהום הנשיה. לאמיתו של דבר, הוא עמד והמתין לפתרונו במשך למעלה משלוש מאות וחמישים שנים. וכן, היום כבר יש הוכחה לדברים, פרמה צדק. אבל עד שהדברים הוכחו, המילים של פרמה שימשו כאחת החידות המתמטיות המאתגרות ביותר.

ואז נולדה סופי ז’רמן בצרפת.

סופי היתה ילדת פלא, שהחלה להתעניין במתמטיקה מילדות, והוריה עשו כל שביכולתם כדי להניאה מכך. הם נקטו דרכים יצירתיות ביותר, כמו למשל החבאת כל הנרות שבבית, כדי שלא תוכל לקרוא בלילות. אבל סופי אהבה מידי מִסְפָּרִים, והצליחה להרחיב את תחומי השכלתה, עד שהבינה שעליה לחתור ללימודים גבוהים כדי להשיג ידיעות מרשימות יותר מאלו הכתובות בספרים שהשיגה.

כאן עמד מולה מחסום בלתי עביר. לנשים לא היתה אפשרות כניסה לאקדמיה. אישה בצרפת בימים ההם יכלה להיות לכל היותר “משכילה”, כשתואר זה כיוון בעיקר לידע כללי שנועד לניהול שיחות עם בני מעמד האצולה. אבל סופי מצאה פרצה גם כאן. אחד משכניה היה אנטואן לה-בלאן. הוא היה סטודנט כושל במיוחד, שנשר במהירות מספסל הלימודים, אבל עקב כשל בירוקרטי לא ברור, ההודעה על הפסקת לימודיו לא הגיעה מעולם למזכירות. סופי החליטה שזוהי הדרך שלה להכנס פנימה, והשתמשה בזהותו של “מסיה לה-בלאן” כדי לקבל סיכומי שיעורים וללמוד מרחוק. בהתכתבות.

המרצה, ג’וזף לואי לגראנז’, שהיה מתמטיקאי גאון בפני עצמו, הופתע לגלות כי עבודותיו של מיסיה לה-בלאן קיבלו תפנית מבריקה כאשר הוא אינו נוכח בכיתה. הוא זכר אותו ככזה שכל קשר בינו לבין המספרים הינו מקרי בהחלט, והתפלא לראות כיצד המבחנים מרחוק מלאים ביצירתיות, שמוכיחה על הבנה מתמטית מלאה. השאלה הזו הציקה לו מספיק בשביל לזמן את המיסיה הצעיר לפגישה, שכמובן הסירה את המסווה מעל זהותה האמיתית של סופי. זו האחרונה היתה בטוחה שבא הקץ על מסע לימודיה, אבל לגראנז’, שהספיק לזהות את הכישרון המתמטי שלה, החליט לסייע לה.

סופי המשיכה ולמדה עד שלגראנז’ הודיע לה כי רמת הידע שלה משתווה לשלו, ולכן לא יוכל להמשיך ללמד אותה. הוא קישר אותה עם מתמטיקאי אחר, קרל פרידריך גאוס מגרמניה, אותו הגדיר כגדול ממנו.

תעודת פטירה ומקצוע

המרחק הגיאוגרפי בין צרפת לבין גרמניה, הביא לכך שצורת התקשורת האפשרית היחידה היתה באמצעות מכתבים. סופי החלה להתכתב עם גאוס, וחתמה על מכתביה בשם העט אותו אימצה: מיסיה לה-בלאן. היא עשתה זאת מתוך חשש שהמתמטיקאי הגרמני לא יתייחס למכתבים כלל אם תהיה חתומה עליהם אישה.

זו היתה תקופה שבה סופי, שקיוותה להכרה אמיתית ביכולותיה, החליטה לכוון גבוה מאוד. אל פתרונו של המשפט האחרון של פרמה. היה ברור לה שאם תגיע לפתרון של משפט שמעסיק מוחות רבים כל כך, היא תזכה גם להכרה. לא ארחיב כיצד, אבל סופי מצאה פריצת דרך קטנה ומקורית, שבאמצעותה חשבה לפתור את המשפט כולו, וסביב כך דנו מכתביה אל גאוס.

גאוס נהנה מהרעיונות של המסיה הצרפתי, וניסה לפתח אותם מכיוונו הוא. מספר שנים של חילופי מכתבים ועבודה הדדית חלפו, ואז פרצה מלחמה בין צרפת, ארץ מגוריה של סופי, לבין גרמניה – אז פרוסיה, ארץ מגוריו של גאוס. מי שעמד בראש המלחמה היה נפוליאון, שרצה לכבוש את פרוסיה. סופי שחששה לשלומו של גאוס, שלחה מברק מהיר לידיד משפחתה, שהיה גנרל צרפתי.

באיחור הסתבר כי גאוס לא היה נתון כלל בסכנת חיים, בשל העובדה שגם הצרפתים הכובשים הכירו ביכולותיו, אבל כאשר ראה את המכתב עליו היתה חתומה אישה צרפתית העונה לשם מדמואזל ז’רמן עם בקשה לשמור עליו, הוא התבלבל לגמרי. הוא לא הכיר שום מדמואזל כזו, ולאמיתו של דבר הכיר מצרפת רק אדם אחד – המיסיה לה-בלאן. לא נדרש זמן רב עבור מח מבריק כשלו לבצע את הקישור בין המדמואזל לבין המיסיה, וכקודמו לא הביע כעס על הרמאות הקטנה. יחד עם זאת, לאחר חודשים ספורים נוספים, קשר המכתבים דעך והגיע אל סיומו. זאת לאחר שגאוס קיבל תפקיד חדש, שמילא את כל זמנו.

סופי לא הצליחה להגיע לפתרון מלא, אם כי הגיעה ללא מעט הישגים בתחומים אחרים. מעניין לציין כי כאשר הלכה לעולמה בגיל צעיר יחסית, צוין בתעודת הפטירה שלה כי היתה חסרת מקצוע.

ילד בן עשר

השנים המשיכו לחלוף במהירות, כשעוד ועוד אנשים מנסים להוכיח או להפריך את המשפט בחוסר הצלחה. הוא כבר הפך למיתוס, והוצעו פרסים כספיים נדיבים למי שיצליח לפתור אותו. ואז נולד אנדרו ויילס.

בגיל עשר הוא התוודע למשפט האחרון של פרמה באמצעות ספר ששאל מהספריה. אנדרו הקטן החליט שאם ילד בגילו יכול להבין את הבעיה, הוא יוכל להגיע גם לפתרון. העובדה שכבר מאות שנים מנסים מבוגרים בעלי ידע מבוסס ממנו להגיע להוכחה המופלאה ההיא בחוסר הצלחה לא הטרידה אותו במיוחד. במקום להיות מוטרד בשאלות של ״איך״, הוא החל להטריד בשאלות של ״מה״ את כל מי שיכול היה לעזור לו: המורים, ההורים וכל אדם אחר שעלה בדעתו. בשל העובדה שמתמטיקה היא ידע שנרכש כמו לבני בנין, כאשר כל לבנה מהווה את הבסיס לזו שאחריה, אנדרו הבין כי עליו להדביק פער של שנים. הוא החל ללמוד שיטות שונות שחשב שיועילו לו בפיתרון, אך ללא הועיל.

ויילס צמח למבוגר, והבעיה טרם הגיעה אל פתרונה. בשלב מסוים הוא זנח אותה, והמשיך להתמקד בפיתוח הידע שלו. אך שב ועסק בה בהמשך בסתר. צורת עבודה שמקובלת פחות בעולם המתמטיקה המודרני. הוא עשה זאת משום שהדחף להגיע לפתרון היה טבוע עמוק בעצמותיו. בשנת ה’תשנ”ד, לאחר שבע שנים מייגעות שהקדיש לבדו לנושא, הוא עלה על הפתרון, והציג אותו ברבים.

ההוכחה נכתבה על גבי כמאתיים עמודים, והיכתה את עולם המספרים בתדהמה. מסתבר כי פרמה צדק, מדובר בכמות מילים אדירה שלא מספיקים לה שוליים של ספר. אבל יחד עם זאת, הכלים בהם השתמש ויילס כדי להוכיח את הדברים הם כלים מתמטיים שפותחו זמן רב לאחר מותו של פרמה. כך שיש סברה שטוענת כי פרמה ח ש ב שהוא יודע להוכיח, אבל לו היה כותב את הוכחתו, היתה מתגלה בתהליך טעות כלשהיא, וכנגדה עומדת טענה שפרמה חשב על משהו פשוט הרבה יותר, ולכן יש להמשיך בהליך החיפוש.

שטיח של בעיות

סר אנדרו ויילס הפך לדמות המבוקשת ביותר בימים ההם. הפתרון שלו סוקר בכלי התקשורת המרכזיים בארצות הברית, והוא הוכרז כגאון מתמטי מהלך. בשל העובדה שהיה בן ארבעים ואחת בעת הצגת הפתרון, לא יכול לזכות במדליית פילדס, פרס יוקרתי המוענק למתמטיקאים עד גיל ארבעים, וכתחליף יצרו עבורו שנים ספורות אחר כך פרס מיוחד: לוח כסף שהוענק לו מידי האיחוד הבינלאומי למתמטיקה. הלוח הצטרף אל שורת מדליות ופרסים אחרים שזכה בהן ויילס על מחקריו הרבים. אבל הסיפור שלנו אינו עוסק בפרסים של ויילס, כי אם בהוכחה של המשפט האחרון של פרמה. וזה, טרם בא על סיומו.

הנוהג הוא שעל כל מאמר מתמטי שמתפרסם ברבים, עוברים מתמטיקאים אחרים, ותפקידם הוא למצוא בו פרצות. התהליך הזה מכונה “ביקורת עמיתים”, והמאמר המפורסם של ויילס לא היה שונה משאר המאמרים. שבעה מתמטיקאים עברו על הדברים בתשומת לב מרובה, ובמהרה הוא קיבל הודעה שאי שם בין מאות העמודים שכתב מסתתרת טעות קטנה, שמעמידה את ההוכחה כולה בסימן שאלה גדול. זו לא היתה טעות מהותית כל כך, אבל ויילס נדרש ״לסדר״ את המאמר שלו כדי שיכירו בהוכחתו.

קל לדמיין כיצד הגיב ויילס כאשר גילה שהוא ניצב בפני שוקת שבורה. הוא ידע שהתהילה לה זכה תתנפץ לעשרות אלפי חתיכות מבעיתות ברגע שיצא בהצהרה, שההוכחה שלו אינה הוכחה. הוא ניסה למשוך קצת את הזמן, כדי לתקן את ההוכחה שלו, וביחד עם ריצ’רד טיילור, תלמידו המסור, עבד עליה ימים ולילות. את התהליך כינה מישהו בהומור כתהליך שבו מנסים לסדר שטיח גדול בחדר קטן: מסדרים פינה אחת, והפינה השניה “בורחת”. מסדרים את השניה, ופתאום נוצרת בעיה בפינה השלישית, וכך הלאה. אבל ויילס לא אמר נואש. כעבור שנה נמצא התיקון בעזרת תלמידו, והגיע הסוף לחידת המסתורין המתמטיקאית. מלבד הפרסים שהוזכרו לעיל, שניתנו על עבודות שונות שביצע ויילס, קיבל ויילס גם פרס כספי בסך מאה אלף מרקים שהוקצה לדרבון הפותרים. הפרס נמסר לויילס בשוויו בדולרים בעת הזכיה, ועמד על חמישים אלף דולרים.

כך שקטו הרוחות, והמשפט האחרון של פרמה הגיע לשלב בו הוא יכול לנוח בשלום בהערות השוליים שבהן התגלה לראשונה.